By S. Zaidman

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Extra info for Almost-periodic functions in abstract spaces

Example text

La topologie de l'espace numérique est compatible avec cette structure de groupe; muni de ces deux structures, R n est un groupe topologique qu'on appelle groupe additif de l'espace numérique à n dimensions. La structure uniforme de ce groupe, dite structure uniforme additive de Rn, est le produit des structures uniformes des groupes facteurs de R n (III, p. 21) ;si, pour chaque entierp > O, on désigne par V, l'ensemble des couples (x, y) de points de Rn tels que Max lx, - yil < l/p, les ensembles V, forment un système fonda14i4n mental d'entourages de cette structure uniforme.

55, la prop. 1 sera démontrée si on prouve que la partie M de Rn,, x Rn,,, définie par la relation A,, estfermée. Or, soit (x, y) un point de Rn,, x Rn,, adhérent à M ; si x = (xi), il existe une coordonnée x, # O; il existe donc un voisinage V de (x, y) tel que pour tout point (x', y') E M n V la coordonnée xi d'indice i de x' soit #O; lorsque (x', y') tend l)xl, vers (x, y) en restant dans M, y;x;-l tend vers t = y,x; l; comme y' = (y;xix;on voit, en passant à la limite, que y = tx, ce qui prouve que (x, y) E M.

Soit V une variété linéaire projective de dimension n - p - 1 de P,; la partie UV de P,,, formée des éléments dont l'intersection avec V est vide, est un ouvert dense de P,, , homéomorphe à R(P+ l ) ( n - p ) . D'après ce qui précède, on peut supposer que V est la variétC linéaire projective définie par les équations x,-, = O,. , x, = O. L'image réciproque de UVdans Ln+ + est l'ensemble des suites (x,, . ,x,) d'éléments de R n +l qui, avec e,+,, . ,en, forment une base de Rn+,, c'est-à-dire, vu les identifications faites, l'ensemble U' des matrices X à p + 1 lignes et n + 1 colonnes telles que la matrice carrée formée des p + 1 premières colonnes de X soit inversible.