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By Otto Forster

Der vorliegende Band stellt den dritten Teil eines Analysis-Kurses für Studierende der Mathematik und Physik dar und behandelt die Integralrechnung im IRn mit Anwendungen, insbesondere solche, die für die theoretische Physik appropriate sind. Für die eight. Auflage wurde der textual content sorgfältig durchgesehen sowie an einigen Stellen ergänzt und es kamen neue Abbildungen hinzu.

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Dabei ist eine Treppenfunktion ϕ im Sinne der Riemannschen Intergrationstheorie wie folgt definiert: Es gibt eine Unterteilung a = t0 < t1 < . . < tm = b des Intervalls und reelle Konstanten ci so dass ϕ | ]ti−1 ,ti [ = ci f¨ur 1 i m. ) Das Integral von ϕ ist definiert als Z b a m ϕ(x)dx := ∑ ci (ti − ti−1) i=1 Eine solche Treppenfunktion ist eine einfache Funktion auf dem Messraum R ([a, b], B [a, b]) und das Lebesguesche Integral [a,b] ϕ(x)dλ(x) stimmt mit dem Riemannschen Integral von ϕ u¨ berein.

B. f¨ur jeden topologischen Raum X den Borelschen Messraum (X , B (X )) und in jeder Dimension n 1 den Lebesgue-Borelschen Maßraum (Rn , B (Rn ), λn ) In der Wahrscheinlichkeitstheorie arbeitet man mit Maßr¨aumen (Ω, A, P), wobei P ein Maß mit P(Ω) = 1 ist. Solche Maßr¨aume heißen Wahrscheinlichkeitsr¨aume. Nullmengen Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum und µ∗ : P(Ω) → R+ das zugeh¨orige a¨ ußere Maß. Eine Teilmenge S ⊂ Ω heißt µ-Nullmenge, falls µ∗ (S) = 0. Im Falle des Lebesgueschen Maßes spricht man von Lebesgue-Nullmengen.

Zu jedem ε > 0 existiert ein A ∈ A mit µ∗ (X σ mit µ˜ (X ) < ∞ ist A) < ε. Das ist klar, falls X ⊂ Ωm f¨ur ein m 1. Andernfalls betrachte man die Folge Xm := X ∩ Ωm , m 1. Da µ˜ (Xm ) ↑ µ˜ (X ), gibt es ein m 1 mit ε µ˜ (X ) − µ˜ (Xm ) < . 2 Da X Xm = X Xm , folgt µ∗ (X Xm ) < ε/2. Da Xm ⊂ Ωm , gibt es ein A ∈ A mit µ∗ (Xm A) < ε/2. d. Das Lebesgue-Borelsche Maß. Satz 7 kann insbesondere auf das Lebesguesche Pr¨amaß λn : Q(Rn ) → R+ angewendet werden. Die eindeutig bestimmte Fortsetzung von λn auf die Borelsche σ-Algebra B (Rn ) = Q(Rn ) σ , die wir wieder mit λn oder kurz mit λ bezeichnen, ist das Lebesguesche Maß oder genauer Lebesgue-Borelsche Maß λn : B (Rn ) −→ R+ .

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