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By Ehrhard Behrends

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Online-Service: www.math.fu-berlin.de/~behrends/analysis

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3. (iv) Der Beweis wird unter Verwendung von (iii) durch den Nachweis der Gleichung x + (-l)x = 0 geführt: x+(-l)x M2 l·x+(-l)x ~ (1+(-l»)x A3 O·x ® O. ( -l)x hat damit die gleichen Eigenschaften wie -x, also müssen - wegen (iii) die Elemente -x und (-l)x übereinstimmen. (v) Dieser Beweis ist etwas komplizierter. Das zugrunde liegende Schlussprinzip ist ,,[(p oder q) und (nicht q)] =? p". In Worten: Wir wollen zeigen, dass eine Aussage p wahr ist, und wir zeigen dazu, dass p V q eine wahre und q eine falsche Aussage ist.

3. ALGEBRA/SCHE STRUKTUREN 17 2. Durch die Bezeichnung "innere Komposition" soll betont werden, dass das Ergebnis der Verknüpfung von je zwei Elementen aus M wieder in M liegt. Es gibt auch äußere Kompositionen, da wird je zwei Elementen aus Mein Element einer weiteren Menge N zugeordnet. ) Beispiele: 1. " sind innere Kompositionen auf Nnaiv, denn Summen und Produkte natürlicher Zahlen sind wieder natürliche Zahlen. " auch innere Kompositionen auf Znaiv, Qnaiv und lR naiv · 2. x °y := x - y ist innere Komposition auf Znaiv, denn beim Subtrahieren ganzer Zahlen voneinander bleibt man im Bereich der ganzen Zahlen.

Das ist natürlich nicht zu erwarten, denn mindestens im Fall x = y gilt natürlich bestimmt Xli = y"'. Das weiß jeder auch aus dem täglichen Leben: Das Gegenteil der Aussage "alle sind nett zu mir" ist doch nicht "alle sind unfreundlich zu mir", sondern "es gibt jemanden, der nicht nett zu mir ist". Analog verhält es sich mit Beweisen zu Aussagen wie" ,0' ist assoziativ" oder" 7 ist neutral für (x,y) >-+ Xli auf Nnaiv". Etwas mehr müssen Sie überlegen, wenn Sie etwa zeigen wollen, dass für (x, y) >-+ x - y keine Einheiten existieren: Sie müssen für jedes e einen" Versager" x angeben, für den e - x i- x oder x - e i- x gilt; natürlich müssen das für verschiedene e nicht unbedingt verschiedene x sein.

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